Художественной гимнастикой Даша начала заниматься в родном городе Сочи. Получив начальную хореографическую подготовку в танцевальном кружке, в семь лет перешла в секцию художественной гимнастики.
В 2005 году семья Дарьи Кондаковой переехала в подмосковный Дмитров. К тому времени спортсменка уже входила в число лучших юниорок страны. А в сезоне 2006 15-летнюю гимнастку ждал первый по-настоящему большой успех – победа на юношеском первенстве континента в командных соревнованиях и в упражнении с лентой. Не смотря на успешное выступление из-за высокой конкуренции в национальную команду Дарья отобраться не смогла и решила перейти в группу командных упражнений. Там шансы на участие в Олимпийских играх казались более высокими. Однако в Пекин Кондакова так и не попала и вновь вернулась в индивидуальную гимнастику.
На чемпионате мира 2010 в Москве Дарья стала чемпионкой мира в упражнении со скакалкой, опередив олимпийскую чемпионку Евгению Канаеву. Личный тренер Кондаковой Анна Шумилова прокомментировала победу своей подопечной так:
«Я очень довольна выступлением своей ученицы. Даша сделала, что могла и в упражнении со скакалкой, и в упражнении с обручем. А что со скакалкой она выиграла у Жени Канаевой… Я, всё же, считаю, что сегодня не столько Даша выиграла, сколько Женя проиграла – допустила ошибку, не очень явную для неискушенных зрителей, но заметную для судей. Ничего особенного не произошло. Канаева – по-прежнему первый номер в сборной России. А Даша, возможно, упрочила свои позиции в качестве второго номера."
А главный тренер сборной Ирина Винер сказала:«А чему вы удивляетесь? Да, Женя Канаева у нас в команде – первый номер, но Даша Кондакова тоже очень сильная спортсменка...Она сегодня выступила прекрасно! И вообще, она не настолько слабее Канаевой, чтобы Канаева позволяла себе какие-то неточности»
Ещё одну золотую медаль Даша выиграла вместе с Евгенией Канаевой, Дарьей Дмитриевой и Яной Лукониной в командном многоборье. В индивидуальном многоборье, упражнении с обручем и лентой гимнастка стала серебряным призёром. Кроме этого, спортсменке был вручён приз "За элегантность" от компании "Longines".